미시경제학이나 응용미시에서 익혀야 할 가장 중요한 수학적 기법 중의 하나가 라그랑지 함수(Lagrangean Function)입니다.
주어진 예산제약하에서 풀때 효용극대화 문제를 풀 때 유용하게 사용할 수 있죠.
즉, 라그랑지안 함수란 일정 제약하에서 극대화나 극소화 문제를 풀 때 쓰는 테크닉입니다. 그래서 경제수학책의 "constrained optimisation"의 장에 있습니다.
가장 간단한 예로 예산제약하의 효용 극대화를 생각해 봅시다.
U=U(X,Y)를 objective function이라 하고, 제약식(constraint)을 PxX+PyY=M이라 할 때
라그랑지안 함수를 L 이라 하면, (이 경우는 어떤 제약하의 극대화 케이스입니다.)
L=U(X,Y)+λ(M-PxX-PyY)
라고 표현합니다. (λ(람다, Lambda))
다시 말해 L= objective function+λ(constraint)로 표현되는 것이 라그랑지안 함수인 것입니다.
그리고, 각각 X와 Y, 그리고 λ에 대해 편미분을 하면
Lx=Ux-Pxλ.=0
Ly=Uy-Pyλ=0
PxX+PyY=M
의 세가지 식이 도출되겠죠.
세 식을 X와 Y에 대해 풀면, 그 답인 X,Y값이 예산제약하에 효용을 극대화 하는 X, Y(상품량)이 되는 겁니다. 첫번째와 두번째 식을 풀면 경제학 책에 많이 나오는 (λ=) Ux/Px= Uy/Py, Ux/Uy=Px/Py 식을 도출할 수 있습니다.
그럼, 람다(λ) 값은 경제학적 의미에서 뭐냐? 람다는 예산제약이 1단위 증가할 때 목적함수의 최적값이 얼마나 증가하는지를 알려줍니다. 즉, 예산이 1원(또는 1달러) 증가할 경우, 목적함수인 효용함수의 최적값(optimal utility)이 λ단위만큼 증가한다는 의미입니다.
매우 유용한 방법이기 때문에 경제수학책을 참고하셔서 익혀놓으시면 공부하시는데 상당히 도움이 되실 겁니다.
(참고로 쉬운 예제 하나)
소비자 갑돌이의 효용함수는 U(X,Y)=xy라 합시다.
그가 가진 돈(예산)이 총 90원이고, 사과(x)재화의 가격은 3원, 배(y)재화의 가격은 5원이라 합시다.
이 예산제약상황을 식으로 나타내면
3x+5y=90
즉, max U=xy
s.t. 3x+5y=90
(다시 말해서, 이문제는 갑돌이의 예산제약식하에서 그의 효용을 극대화하기 위해서는 사과(x)와 배(y)를 얼마만큼 소비해야 하느냐...하는 문제입니다.)
이걸 그냥 풀면 어렵기 때문에 쉽게 극대화 해를 찾아내기 위해 라그랑지안 함수로 나타내면
X에 대해 미분: Lx=y-3λ=0 -----(1)
y에 대해 미분: Ly=x-5λ=0 ---(2)
λ에 대해 미분: 90-3x-5y=0 즉, 90=3x+5y ---(3)
(1)---> y=3λ ---(4)
(2)----> x=5λ ----(5)
(4),(5)---> (3)에 대입
90=3(5λ)+5(3λ)
90=30λ
λ=3 --->(4),(5)에 대입하면
x=15
y=9
즉, 사과(x재화)는 15개, 배(y재화)는 9개를 소비할 때 갑돌이가 가지고 있는 예산하에서 갑돌이의 효용이 극대화됩니다. (이때 효용은 135(그의 효용식은 x곱하기 y니까)가 되겠죠)
<수학 초보자를 위한 부연 설명>
첫번째식 x에 대한 미분은 x만 변수 나머지 y와 λ는 일반 상수(숫자)로 취급합니다.
라그랑지 함수 xy+λ(90-3x-5y)의 괄호를 풀어 나타내면 ---> xy+90λ-3xλ-5yλ
이식을 x에 대해 미분하면, y + 0 - 3λ - 0 이 됩니다. 그런데 이식이 0이 되어야 합니다. (극대화 문제이기 때문에)
y에 대한 미분도 같은 식으로 풀어보시면 됩니다.
λ에 대한 미분에 대한 미분은 다음과 같습니다.
위의 라그랑지함수(L)에서 λ만 변수가 되니까, 나머지는 모두 상수취급을 하면 되겠죠.
xy는 미분하면 0, λ(90-3x-5y)를 λ에 대해 미분하면, 괄호안의 수식만 남겠죠.
예를 들어 3λ를 λ에 대해서 미분하면 3인 것 처럼 말이죠.
그래도 이해가 안가시면 밑줄친 식을 풀어 써보죠. 90λ-3xλ-5yλ 가 되죠.
다시 λ에 대해 미분하면 90-3x-5y가 됩니다. 같은 결과죠.
이 미분한 식이 0 이 되어야 합니다. 극대화나 극소화문제의 1계조건은 미분한 값이 0이 되어야 하기 때문입니다.
즉, x,y,λ 중 미분하는 변수하나 만 빼고 나머지는 일반 숫자 취급을 하면 됩니다.
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2개의 재화를 가지고 다루었던 테크닉으로 3개이상 n개의 재화에 대한 효용극대화 문제도 다룰 수 있습니다.
효용함수는
U=U(X1, X2, ......, Xn) 과 같이 나타냅니다.
예산 제약식은
M=P1X1+P2X2+....+PnXn (= ΣPiXi)
라그랑지함수를 이용해서 효용극대화문제를 풉니다.
L=U(X1, X2, ......, Xn) +λ( M-P1X1-P2X2-....-PnXn )
극대화를 위한 1계 필요조건은
∂L/∂X1 = ∂U/∂X1 -λP1 = 0
∂L/∂X2 = ∂U/∂X2 -λP2 = 0
.
.
.
∂L/∂Xn = ∂U/∂Xn -λPn = 0
∂L/∂λ = M-P1X1-P2X2-....-PnXn = 0
(2계 충분조건까지 구하려면 유테헤시안을 이용해야 합니다.)
2개의 재화를 가진 케이스와 같이,
(∂U/∂X=MUx, ∂U/∂Y=MUy , --한계효용---라고 표시하고
MUx/Px = MUy/Py ==> MUx/MUy=Px/Py 가 효용극대화의 필요조건이었던 것처럼)
위의 라그랑지함수의 n+1개의 1계 조건식을 풀면, 효용극대화를 위한 필요조건은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
n개의 재화 중 어느 두개의 재화 i, j에 대해
∂U/∂Xi = MUi
∂U/∂Xj = MUj 라 할 때
MUi/MUj = Pi/Pj 가 효용극대화의 1계 필요조건이 됩니다.
연결되는 글 (라그랑지함수와 2계조건)
http://economia.tistory.com/10
몇 개 더 연습해 봅시다.
1. U=(X+1)(Y+1), Px=4, Py=6, M=130일때
1)라그랑지 함수
L=U(X,Y)+λ(M-PxX-PyY)
L=XY+X+Y+1+λ(130-4X-6Y)
2)최적 구매량 X*, Y*
L을 X, Y, λ에 대해 미분해서 풀어보면 (자세한 풀이과정은 생략합니다.)
λ=2.91666.... (=35/12)
X=16.5 (=33/2)
Y=10.666... (=32/3)
II.MaxU= xy일때 s.t. M=PxX+PyY일때 M=100, Px=2 , Py=5일때
1)최적 구매량(라그랑지 함수 대입해서)
L=U(X,Y)+λ(M-PxX-PyY)
L=xy+λ(100-2X-5Y)
L을 X, Y, λ에 대해 미분해서 풀어보면
λ=5
X=25
Y=10
2) 2계조건
(단, 두 재화는 정상재.)
라그랑지함수를 통한 해가 극대화를 위한 충분조건을 갖추고 있는지 확인하기 위해서는
Bordered Hessian Determinant(BHD)를 구해봐야 하는데
이 값이 양(+)이어야 합니다. (BHD가 양이어야 하는게 2계조건입니다.)
두 변수 X, Y에 대한 라그랑지 함수를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
L(X,Y) = f(X,Y)-λ(g(X,Y)-M)
라그랑지 함수의 BHD(=ㅣHㅣ)는 다음과 같습니다.
= │ 0 2 5 │
│ 2 0 1 │
│ 5 1 0 │
= 0 -2(-5)+5(2) = 20 > 0
이므로 2계조건도 만족하고 있는 것을 볼 수 있습니다.