위험 프리미엄(Risk Premium)에 대한 문제를 다뤄봅니다.
<문제>
이제 직장생활을 막 시작한 최경제 군의 소득에 대한 효용 스케쥴이 다음과 같다고 하자.
소득(income) 900 950 1000 1010 1100 1200
효용(utility) 200 210 214 214.5 218.5 220
최경제 군이 1000원을 어느 프로젝트에 투자했을 때 0.5의 확률로 200원의 이익을 얻거나 0.5의 확률로 100원의 손실을 본다고 하자.
(1) 최경제군은 투자를 하겠는가?
(2) Risk Premium은 얼마인가?
(3) 프로젝트 투자에 따른 cost를 같은 효용스케쥴을 가진 두사람이 똑같이 공동부담한다면 이 두사람은 투자를 하겠는가?
(4) 프로젝트 비용을 부담하는 사람들의 수가 매우 많다면 Risk Premium은 어떻게 되겠는가?
======================================================================================================
<풀이와 해설>
(1) 최경제군은 투자를 하겠는가?
소득-효용 스케쥴을 그려보면 최경제군은 위험기피자(Risk-averse)임을 알 수 있다.
1000원을 프로젝트에 투자할 때 기대소득과 기대효용을 구해 보면
기대소득(Expected Income) = 0.5×1200 + 0.5×900 = 1050원
기대효용(Expected Utility: EU) = 0.5×U(900) + 0.5×U(1200) = 0.5×200 + 0.5×220 = 210
따라서,투자를 하지 않았을 때 최군의 효용(U(1000)=214)은 투자시의 기대효용(EU=210)보다도 크기 때문에 최군은 투자를 하지 않을 것이다.
(2) Risk Premium은 얼마인가?
위험 프리미엄(Risk Premium)은 '(위험상황하의) 기대효용과 같은 수준의 효용을 주는 확실한 소득 ( 확실대등액 : Certainty Equivalent )'과 '기대소득'간의 차이를 의미한다.
그림에서 보는 바와 같이 위험상황에서의 기대효용(EU)은 210이고 이와 상응하는 소득은 1050인 반면, 기대효용과 같은 효용을 주는 소득은 950원에 불과하다.
즉, 위험프리미엄은 두 소득의 차이인 100원이다.
최군은 위험기피자이므로 위험프리미엄은 양(+)의 값을 갖는데, 위험에 대한 회피도가 커질수록 위험프리미엄도 커지게 된다.
(3) 프로젝트 투자에 따른 cost를 같은 효용스케쥴을 가진 두사람이 똑같이 공동부담한다면 이 두사람은 투자를 하겠는가?
비용을 두사람이 공동부담한다는 말의 의미는 1000원 투자시 이익과 손실이 각각 반으로 줄어든다는 말이다.
(1000원이 0.5의 확률로 1100원, 0.5의 확률로 950원이 된다는 뜻)
기대소득(Expected Income) = 0.5×950 + 0.5×1100 = 1025원
기대효용(Expected Utility: EU) = 0.5×U(950) + 0.5×U(1100) = 0.5×210 + 0.5×218.5 = 214.25
U(1000)=214 < Expected Utility=214.25 이므로 그들은 투자를 할 것이다.
(4) 프로젝트 비용을 부담하는 사람들의 수가 매우 많다면 Risk Premium은 어떻게 되겠는가?
(3)에서, 투자자가 두명일 때 리스크 프리미엄은 대략 20원이다.
(U=214.25일때 소득은 대략 1005, 따라서 risk premium = 1025-1005 = 20)
(2)의 risk premium과 비교해보면 많이 줄었들었음을 확인할 수 있다.
애로우 린드 정리 ( Arrow-Lind Theorem ) 에 따르면, 그룹의 크기가 커질수록 리스크 프리미엄은 0으로 수렴한다.
즉, 투자자가 매우 많으면 리스크 프리미엄은 0이 된다.
( 애로우-린드 정리가 의미하는 바는 사회구성원 다수에게로 비용부담이 나누어지는 경우 위험에 대한 고려가 필요 없다는 것이다. )
