쌍대성 이론 (Duality Theory)

1. Duality

미시경제학에서 효용극대화(Utility maximisation)와 지출극소화(Expenditure minimisation) 관계를 동전의 양면과 같다고 해서 쌍대관계(Duality)라 한다.

이러한 duality는 보통수요(ordinary demand)와 보상수요(compensated demand) 양자를 연결시켜 주는 고리역할을 한다.

 

흔히 우리가 접하는 효용극대화 문제에서 재화에 대한 일반적인 수요함수(또는 수요량)을 도출할 수는 있지만, 기초 미시경제학 지식으로는 보상수요함수를 직접 얻기는 힘들다.

 

Duality 문제에서 접하게 되는 주요한 용어와 개념은 다음과 같다.

 

   Expenditure function(지출함수)

   Indirect utility function(간접효용함수)

   Compensated demand(=Hicksian demand, 보상수요)

   Ordinary demand(=Marshallian demand, 보통의 수요)

 

   Slutsky equation(슬러츠키 방정식)

   Substituion effect(대체효과)

   Income effect(소득효과)

 

   Shepard’s lemma (셰파드 보조정리, 셰퍼드 정리)

   Roy’s Identity (로이 항등식)

상기 개념들간의 관계는 맨아래의 표와 같이 나타낼 수 있다.(표를 클릭하면 확대된다). 앞으로의 설명을 조금 더 쉽게 이해하기 위해 각 개념간의 관계를 잘 이해해 두자.

우선 간접효용함수와 지출함수의 개념은 다음과 같다.

2. 간접효용함수(Indirect Utility Function)

 

(직접)효용함수가 재화(X, Y)의 소비량으로부터의 효용관계라면, 간접효용함수는 재화의 가격(P)과 소득(M)으로부터의 효용관계를 나타낸다.

 

(직접) 효용함수 :     X, Y   à U(X, Y)

간접효용함수:    P_x, P_y, M à X, Y à U(X, Y)   즉, P_x, P_y, M à U(X, Y) 

이를 수학적 함수관계로 나타내면

 U(X(P_x, P_y, M), Y(P_x, P_y, M)) = V(P_x, P_y, M)    (통상적으로 간접효용함수의 기호로 V를 사용한다)

다시 말해, 간접효용함수 V는 가격들과 소득의 함수이다.

우리가 실생활에서 관찰하기 용이한 가격과 소득으로부터 효용을 직접적으로 구할 수 있기 때문에 간접효용함수는 유용하게 쓰인다.

 

간접효용함수를 알고 있으면, 다음의 로이항등식을 이용해서 보통의 수요함수를 쉽게 구할 수 있다.

  

 

Roy’s Identity (로이 항등식):

 

X(P_x, P_y, M) =  - (∂V/∂P_x)/(∂V/∂M)

Y(P_x, P_y, M) =  - (∂V/∂P_y)/(∂V/∂M)

 

이 항등식은 간접효용함수로부터 보통의 수요함수(=마샬 수요함수)를 도출할 때 쓰인다

 

 

 

3. 지출함수(Expenditure Function)

 

      Maximize U(x, y)

             _

s.t. M  = P_xX+P_yY

 

의 수식으로 나타내는 예산제약하의 효용극대화 문제 대신,

 

 

효용의 크기를 고정시켜 놓은 상태(효용제약하)에서 X와 Y 두재화에 대한 지출(소비)를 최소화하는 문제를 생각해보자.

 

Minimize P_xX+P_yY

      _

s.t. U = U(X, Y)

 

이러한 문제의 해로 아래와 같은 보상수요함수를 도출할 수 있다. (첨자 C는 compensated의 의미로 붙인 것이다)

 

X^*_c =X_c(P_x, P_y, U)

Y^*_c =Y_c(P_x, P_y, U)

 

이를 예산함수에 대입하면

M*=P_x X_c(P_x, P_y, U)+P_y Y_c(P_x, P_y, U)

M*= M*(P_x, P_y, U) =  E(P_x, P_y, U)    (E= Expenditure function)

 

즉, 지출함수는 가격들과 효용의 함수다.

 

 

* 지출함수와 관련해서 다음의 셰파드 보조정리를 알고 있으면, 쉽게 보상수요함수를 도출할 수 있다.

 

Shepard’s lemma (셰파드 보조정리):

 

X^c(P_x, P_y, U) = ∂E/∂P_x

 

이 보조정리는 지출함수로부터 보상수요함수(=힉스 수요함수)를 구할 때 쓰인다.

 

 

 

보상수요라는 것이 실질소득의 변화를 제거한 수요, 즉, 소득효과를 제거한 것이라는 점을 생각하면, 효용의 크기를 고정시킨 상태, 즉, 동일한 무차별곡선 하에서의 지출극소화의 해로 보상수요함수를 얻을 수 있는지 알 수 있을 것이다. 아래 그림을 보면 쉽게 그 의미를 유추해 낼 수 있을 것이다.

다음 포스트에서는 실제 문제를 가지고 위의 개념들을 구체적으로 이해해 보자.

* 참고로 아래의 두 자료도 도움이 될 것이다.

http://econ2.econ.iastate.edu/classes/econ501/hallam/documents/dualconsumer.pdf

http://aede.osu.edu/class/AEDE711/sohngen/BS_duality.ppt#270,20,Numerical Example