<문제>
M(M의 단위는 1,000)원 소득에 대한 개인적인 효용함수 U(M)라 한다. U(0)=0로 설정한 후, 1,000원 소득에 대한 효용은 U(1)=1로 설정한다. 다음에는 U(10), U(5)를 구하기를 원한다.
a. 다음과 같은 2개의 대안이 있다고 가정할 때
(1) p의 확률로 10,000원를 얻거나, (1-p)의 확률로 0을 얻는다
(2) 확실하게 1,000원을 얻는다.
두 대안을 무차별하게 하는 p의 값 p=0.125일때, U(10)은?
b. 두번째 대안에서 확실하게 5,000원 수령한다고 가정할 때 이 두 대안을 무차별하게 하는 p의 값이 p=0.5625일때 U(5)는?
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<풀이와 해설>
효용함수 U(M)
U(0)=0
U(1)=1 <----1000원의 소득이 주는 효용이 1임을 의미
a.
횡축은 소득의 수준을.....종축은 효용수준을 나타냅니다.
효용곡선상의 점은 어떤 (확실한) 금액이 당신에게 주는 효용의 크기를 나타냅니다.
즉, 확실한 돈 1000원이 주는 효용의 크기는 U(1)이고 그 값은 1이라고 하였습니다.
U(1)=1
이 효용의 수준과 0.125의 확률로 10,000원, (1-0.125)의 확률로 0원일 때의 기대효용이 같다(무차별하다)는 것이므로
U(1)=0.125*U(10)+(1-0.125)*U(0)
기대효용(Expected Utility)라 함은 효용의 기대값, 즉 두 상황에서 발생하는 효용의 (가중)평균을 의미합니다.
경제학에서의 Expected(기대)라는 말은 통계학에서 말하는 평균(mean) 또는 기대값(expected value)의 개념입니다.
평균 = ∑(확률변수×각각의 확률변수가 발생할 확률)
따라서, 예를 들어 내기를 했을 때, 0.125의 확률로 10,000원을 얻거나, 0.875의 확률로 0원을 얻는 상황에서의 효용의 기대값(=기대효용)은 0.125*U(10)+(1-0.125)*U(0) 인 것입니다.
U(1)=1, U(0)=0 임을 알고 있으니까, 이를 대입하면
1 = 0.125*U(10)+0
U(10)=1÷0.125
=8
좀더 설명해 보면,
어떤 확실한 금액이 주는 효용이 효용곡선상의 높이로 측정된다고 할 때
기대효용(각각의 효용을 그 사건이 발생할 확률로 곱해서 더한 것, 즉 효용의 가중 평균치)은 그림에서 보는것과 같이 직선상의 높이로 측정됩니다.
어떤 위험하의 기대금액이 주는 효용은
0.125의 확률로 10000원을 얻고 (1-0.125)의 확률로 0원을 얻으므로
기대금액(이 금액들의 평균) = 0.125*10000+(1-0.125)*0
= 1250
기대금액 1250원이 주는 효용은 U(1.25) 인데,
위험 기피자라면,
기대금액이 주는 효용이 기대효용, 즉, 0.125*U(10)+(1-0.125)*U(0) 보다 클 것입니다.
위의 그림은 이걸 보여주고 있습니다.
b.
두번째 문제도
같은 방법으로
p=0.5625 이므로
확실하게 5000원이 주는 효용 U(5)는 위험하의 기대효용과 같다는 것이므로
U(5) = pU(10)+(1-p)U(0)
=0.5625*8 + 0
=4.5