[질문]
효용함수는
U(X,Y) = (XY)^(1/2)
M(예산)=8, Py=1으로 주어지고 Px=2 에서 Px=1로 X재의 가격이 변동할 때 대체효과와 소득효과의 크기는?
[답변]
효용함수가 다름아닌 콥-더글라스 함수입니다. (XY)^(1/2) = (X^0.5)*(Y^0.5)이니까요.
콥-더글라스 효용함수의 극대화에 대해서는 다음 글을 참고하세요.
http://economia.tistory.com/12
이 문제를 푸는 두가지 방법을 소개합니다.
1. Slutsky식 풀이 : 동일한 소비량을 실현할 수 있을 때 동일한 수준의 실질소득이 유지되는 것으로 봅니다.
대체효과(substitution effect)는 실질소득이 같다는 조건하에 두 재화간 상대가격비율의 변동으로 생기는 효과를 말합니다. '실질소득이 같다'는 것에 대한 해석이 Slusky와 Hick간에 다르기때문에 대체효과와 소득효과(income effect)의 크기가 어느 방법을 따르냐에 따라 달라집니다.
예산제약(M=PxX+PyY)하의 콥더글라스 효용함수의 해를 활용해 봅니다.
Px=2, Py=1, M=8, α=0.5 이므로
X=αM/Px=2
Y=(1-α)M/Py=4
점 E : (2,4)
예산제약선은 직선 ①로 나타납니다. (8=2X+Y)
이때 X의 가격이 1로 낮아지면,
예산선은 직선 ③로 표시될 수 있습니다. (8=X+Y)
가격 하락전의 최적소비량인 (X, Y)=(2,4)를 선택할 수 있는 예산제약선은
(2,4)를 관통하면서 직선 ③과 기울기가 같은 예산선, 즉 직선 ② 입니다.
이 예산선을 식으로 표시하면, 6=X+Y
즉, 예산(M)은 6
(엄밀히 계산하면, ΔM = (X)(ΔPx) ==> ΔM = 2 (-1) = -2
즉, 원래 예산인 8에서 2만큼 덜어내야 가격하락으로 인한 소득증대 효과를 제거할 수 있습니다.)
예산 제약식 6=X+Y 하에서 효용극대화되는 최적소비량 (X,Y)는
X=αM/Px=3
Y=(1-α)M/Py=3
(X,Y)=(3,3)입니다. 즉, 점 F
가격하락 후 효용극대화 소비량은 직선 ③으로 표시되는 예산제약하에서 점 G
X=αM/Px=4
Y=(1-α)M/Py=4
(X,Y)=(4,4)
결과를 정리하면,
X재의 가격하락으로 인해 X재의 소비는 2개에서 4개로 늘어나는데,
이를 대체효과와 소득효과로 분리해 보면 다음과 같습니다.
대체효과는 점 E --> 점 F
소득효과는 점 F --> 점 G
X재로 표시한 대체효과, 소득효과:
대체효과는 3 - 2 = 1
소득효과는 4 - 3 = 1
전체적인 가격하락 효과는 이들의 합인 1+1 =2
지금까지의 설명은 Slutsky의 방식에 따른 것입니다.
즉, 동일한 소비량을 실현할 수 있을 때 동일한 실질소득을 유지하는 것으로 본 것이죠.
이런 해석방법에 의해 대체효과, 소득효과를 계산한 것입니다.
2. Hick식 풀이
반면, Hick의 방식에 따르면, 위의 결과와 달라집니다. Hick적 사고에 따르면 실질소득이 같은 수준을 유지한다는 것은 같은 효용수준을 유지할 때로 해석합니다. 이경우 대체효과와 소득효과의 크기는 Slutsky의 방식에 의할 때와는 달라질 수 밖에 없을 것입니다.
Px=2, Py=1 이고 예산이 8원일 때, 이 소비자는 X재 4개, Y재를 2개 소비하고,
이때의 효용수준은 루트 8이 됩니다. U(X,Y)=루트(4*2)이므로...
따라서 루트 8의 효용의 제약하에 M=PxX+PyY의 예산을 극소화하는 문제를 풀어봅니다.
대체효과 소득효과에 관한 다른 글은 아래를 참고하세요.
http://economia.tistory.com/16
http://economia.tistory.com/18