최근 C라는 분으로부터 콥-더글라스형 효용함수에 관한 문제를 질문받고 풀어드리면서, 문득 이러한 형태의 효용함수가 경제학 교재에 많이 등장했었다는 사실을 기억하게 되었다. 조금만 이해하면 쉽게 풀 수 있는 문제라는 점에서 여기에 간단하게 소개하고자 한다.
경제학에서 콥-더글라스함수 형태는 생산함수로 많이 활용되는데, 이는 또한 유용성때문에 효용함수로도 많이 활용된다.
주어진 예산제약하에서 효용극대화의 케이스를 보자.
목적함수인 아래의 효용함수 U(X,Y)의 함수형태가 다름아닌 콥-더글라스(Cobb-Douglas) 함수이다.
α, β가 각각 변수 X와 Y의 지수로서 상수들(constants)이다.
일반적인 예산제약식하에서 콥-더글러스 효용함수를 극대화하는 문제는 다음과 같이 라그랑지 함수를 이용해서 풀면된다.
극대화의 해로서 식 (5)번은 Y의 수요함수, 식 (7) 번은 X의 수요함수이다.
콥-더글라스효용함수의 특수한 형태로서 α+β=1인 경우가 많이 활용되는데,
(X^0.5)(Y^0.5)=(XY)^(1/2), (X^0.2)(Y^0.8) 등 간단한 형태의 효용함수들이 실제 계산문제에서 많이 등장한다.
위의 (8)은 α+β=1, 즉 β=1-α인 경우에 각각 X와 Y의 수요함수다. ( 콥-더글라스 생산함수에서는 α+β=1인 경우 규모수익불변(constant returns to scale)의 특성을 가진다.)
이 콥-더글라스 효용함수에서의 극대화 해(解)가 우리에게 가르쳐주는 중요한 결론은, (9)에서 보는 것처럼, 효용극대화를 위해서 이 소비자는 자신의 예산(소득) 중 (α*100)%를 X재를 구입하는데 쓰고, [(1-α)*100]%를 Y재를 구입하는데 쓴다는 것이다.
(이 결과를 가지고 α, M, Px, Py 만 대입하면, 최적소비량 X, Y를 쉽게 구할 수 있게 된다.)
보다 간단하게 풀기 위해서, 로그함수형태로 바꿔 풀어 볼 수 있는데, 다음과 같다.
이를 보다 쉽게 풀기 위해 간단한 트릭을 사용하기도 하는데, 결국 위에서 풀었던 방법과 같은 결과를 가져온다.
물론, 초급 미시경제학 교재에 나와있는 효용극대화의 조건
즉, MRS=MUx/MUy=Px/Py를 이용해서 직접 풀어도 같은 결과를 얻는다.
위의 식 (1)번과 (2)번 좌변의 첫번째 항들이 MUx와 MUy이다.