자본(K)과 노동(L) 두가지 생산요소를 투입하는 생산함수에서
등량곡선(isoquant)상의 어느 한 점에서의 기울기를 한계기술대체율(Marginal rate of technical substitution: MRTS)라고 합니다. ( Walter Nicholson 등 학자에 따라서는 이를 간단히 RTS라고 표기하는 분도 있습니다.)
즉, MRTS는 생산량을 일정하게 고정시킨 상황에서(=하나의 등량곡선상에서) 노동이 자본과 어느정도의 비율로 대체될 수 있느냐를 나타냅니다.
수식으로 나타내면 다음과 같습니다
그런데, 등량곡선의 모양에 따라
한계기술대체율(MRTS)이 변화할 때 자본과 노동간의 투입비율의 변화가 크기도 하고 작기도 할텐데
이를 객관적인 수식으로 나타낸 것이 대체탄력성(Elaticity of substitution, σ)입니다.
분모 = 한계기술대체율(MRTS)의 변화율, 즉 등량곡선의 기울기가 얼마나 변하는지를 나타내고,
(등량곡선 기울기의 %변화율)
분자 = 생산요소투입비율(K/L)의 변화율(자본/노동비율의 %변화율)을 나타냅니다.
대체탄력성 σ는 분모가 %변화할 때 분자가 몇 % 변화하는지를 나타내므로,
대체탄력성이 크다는 의미는, 즉 등량곡선 기울기의 작은변화에 대해서 자본/노동비율(K/L)에 큰 변화가 있다는 것입니다. 즉 자본과 노동은 대체가 매우 용이하다(highly substitutable)는 뜻입니다.
조악하지만 아래의 그림을 봅시다.
<그림1>의 MRTSA와 <그림2>의 MRTSA는 같습니다. MRTSB도 마찬가지로 같습니다.
원점과 각 MRTS를 이은 직선의 기울기 1~4는 다름아닌 자본과 노동비율인 (K/L)입니다. (그림이 어설퍼서 그렇지만) 그림의 기울기 1,2,3,4 중 1보다는 3이 더 크고, 2보다는 4가 더 작습니다. 즉 <그림2>의 (K/L)비율의 변화가 더 심하다는 얘기입니다.
요약하면, <그림2>의 완만한 등량곡선이 <그림1>의 볼록한 등량곡선보다 대체탄력성이 크다는 뜻입니다.
한가지 더, 비용극소화의 조건이 만족되는 경우에는 MRTS=w/r (w=노동의 가격, r=자본의 가격)이므로
대체탄력성의 분모는 생산요소의 상대가격비율의 변화율(△(w/r)/(w/r))로 나타낼 수 있으니까,
대체탄력성은 생산요소 상대가격이 변화할 때 생산요소 투입비율이 얼마나 민감하게 변화하느냐의 의미로도 해석할 수 있습니다.
항상 일정한 대체탄력성을 가지는 경우를 CES 생산함수라고 하는데(CES는 constant elasticity of substitution)
콥더글라스(Cobb-Douglas) 생산함수는 CES생산함수의 특수한 형태로서 대체탄력성이 항상 1입니다. 대체탄력성이 1이라는 것은 생산요소가격의 10% 변화가 생산요소 투입비율을 반대방향으로 10%변화시킨다는 의미입니다.
덧붙여, 소비자선택이론과 다른 점이 있다면 생산요소에 대한 수요는 파생수요(derived demand)라는 점입니다. 예를 들어 노동에 대한 수요는 1차적으로 그 노동을 통해 생산하고자 하는 생산물에 대한 수요에서 파생된다는 것입니다.
그러니까 노동의 수요를 분석할 경우 노동의 가격인 임금(w)에 대한 분석뿐만 아니라 생산량의 변동도 중요하게 되어 분석이 까다로워지게 됩니다.
따라서, 자본/노동의 투입비율, 즉 생산요소의 변화를 분석할 경우 위에서 본 것과 같이 하나의 등량곡선(isoquant)상에서의 변화만 다룸으로써 생산량 변화를 분석에서 배제할 수 있게 됩니다.
등량곡선(isoquant)상의 어느 한 점에서의 기울기를 한계기술대체율(Marginal rate of technical substitution: MRTS)라고 합니다. ( Walter Nicholson 등 학자에 따라서는 이를 간단히 RTS라고 표기하는 분도 있습니다.)
즉, MRTS는 생산량을 일정하게 고정시킨 상황에서(=하나의 등량곡선상에서) 노동이 자본과 어느정도의 비율로 대체될 수 있느냐를 나타냅니다.
수식으로 나타내면 다음과 같습니다
그런데, 등량곡선의 모양에 따라
한계기술대체율(MRTS)이 변화할 때 자본과 노동간의 투입비율의 변화가 크기도 하고 작기도 할텐데
이를 객관적인 수식으로 나타낸 것이 대체탄력성(Elaticity of substitution, σ)입니다.
분모 = 한계기술대체율(MRTS)의 변화율, 즉 등량곡선의 기울기가 얼마나 변하는지를 나타내고,
(등량곡선 기울기의 %변화율)
분자 = 생산요소투입비율(K/L)의 변화율(자본/노동비율의 %변화율)을 나타냅니다.
대체탄력성 σ는 분모가 %변화할 때 분자가 몇 % 변화하는지를 나타내므로,
대체탄력성이 크다는 의미는, 즉 등량곡선 기울기의 작은변화에 대해서 자본/노동비율(K/L)에 큰 변화가 있다는 것입니다. 즉 자본과 노동은 대체가 매우 용이하다(highly substitutable)는 뜻입니다.
조악하지만 아래의 그림을 봅시다.
<그림1>의 MRTSA와 <그림2>의 MRTSA는 같습니다. MRTSB도 마찬가지로 같습니다.
원점과 각 MRTS를 이은 직선의 기울기 1~4는 다름아닌 자본과 노동비율인 (K/L)입니다. (그림이 어설퍼서 그렇지만) 그림의 기울기 1,2,3,4 중 1보다는 3이 더 크고, 2보다는 4가 더 작습니다. 즉 <그림2>의 (K/L)비율의 변화가 더 심하다는 얘기입니다.
요약하면, <그림2>의 완만한 등량곡선이 <그림1>의 볼록한 등량곡선보다 대체탄력성이 크다는 뜻입니다.
한가지 더, 비용극소화의 조건이 만족되는 경우에는 MRTS=w/r (w=노동의 가격, r=자본의 가격)이므로
대체탄력성의 분모는 생산요소의 상대가격비율의 변화율(△(w/r)/(w/r))로 나타낼 수 있으니까,
대체탄력성은 생산요소 상대가격이 변화할 때 생산요소 투입비율이 얼마나 민감하게 변화하느냐의 의미로도 해석할 수 있습니다.
항상 일정한 대체탄력성을 가지는 경우를 CES 생산함수라고 하는데(CES는 constant elasticity of substitution)
콥더글라스(Cobb-Douglas) 생산함수는 CES생산함수의 특수한 형태로서 대체탄력성이 항상 1입니다. 대체탄력성이 1이라는 것은 생산요소가격의 10% 변화가 생산요소 투입비율을 반대방향으로 10%변화시킨다는 의미입니다.
덧붙여, 소비자선택이론과 다른 점이 있다면 생산요소에 대한 수요는 파생수요(derived demand)라는 점입니다. 예를 들어 노동에 대한 수요는 1차적으로 그 노동을 통해 생산하고자 하는 생산물에 대한 수요에서 파생된다는 것입니다.
그러니까 노동의 수요를 분석할 경우 노동의 가격인 임금(w)에 대한 분석뿐만 아니라 생산량의 변동도 중요하게 되어 분석이 까다로워지게 됩니다.
따라서, 자본/노동의 투입비율, 즉 생산요소의 변화를 분석할 경우 위에서 본 것과 같이 하나의 등량곡선(isoquant)상에서의 변화만 다룸으로써 생산량 변화를 분석에서 배제할 수 있게 됩니다.