이항분포(B(n,p)) 하는 확률변수 X의 평균이 8이고
표준편차가 2라면 n의 값은 얼마인가
베르누이분포의 확률변수 Y의 평균은 1*p+0*(1-p)=p
Y의 분산은 E(Y^2)-E(Y)^2=p-p^2=p(1-p)
성공률 p인 베르누이시행을 n번 독립적으로 시행하였을 때 확률변수 X의 확률분포를 이항분포라 하니까,
이항분포 X~B(n,p)
즉, X의 평균과 분산은
평균 E(X)=E(Y1)+......+E(Yn)=np
(각각의 E(Yi)의 평균은 p임을 위에서 증명, 독립적 시행이므로 각각의 기대치의 합으로 나타낼 수 있고.....p가 n개 있으므로)
분산 Var(X) = Var(Y1)+....+Var(Yn)= np(1-p)
여기까지는 문제를 풀기위한 준비과정
평균이 8이므로 np=8
표준편차가 2이므로 루트(np(1-p))=2
루트(8*(1-p))=2
==> 1-p=1/2
따라서 p도 1/2
n*1/2=8
n은 16